4. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точкам M, N, P — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (см. рис.). Выясните взаимное расположение прямых: 1) PK и BC; 2) MP и AC; 3) MD и BC.

1) Прямые PK и BC пересекаются. Они лежат в плоскости DBC. Так как K, согласно рисунку, отлична от N, прямая PK не параллельна BC; значит, эти прямые пересекаются.

2) В треугольнике DAC точки M и P — середины сторон DA и DC. По теореме о средней линии треугольника MP ∥ AC.

3) Прямые MD и BC скрещиваются. Прямая MD совпадает с DA и пересекает плоскость ABC только в A, тогда как A не лежит на BC, поэтому MD и BC не пересекаются. Если бы они были параллельны, то лежали бы в одной плоскости с точкой A и прямой BC, то есть в плоскости ABC; это невозможно, поскольку D не лежит в этой плоскости.

Ответ: 1) пересекаются; 2) параллельны; 3) скрещиваются.