4. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит ее боковую сторону на отрезки, один из которых равен 14 см. Найдите основания трапеции, если ее периметр равен 68 см

Решение:

Пусть боковая сторона трапеции c, основания a и b. Точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y. В равнобокой трапеции точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные одному основанию и другому основанию, причем меньший отрезок примыкает к меньшему основанию.

Пусть x = 14 см. Так как трапеция равнобокая, то отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны одному из оснований. Значит, одно из оснований равно 14 см.

Пусть a = 14 см.

В трапеции, в которую вписана окружность, сумма противоположных сторон равна.

a + c = b + c, что означает a = b, если бы трапеция была параллелограммом. Но в трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: a + b = 2c.

Точка касания делит боковую сторону на два отрезка. Пусть один отрезок равен 14 см. Это означает, что высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, а также, что боковая сторона c = 14 + y.

Из свойства описанного четырёхугольника, сумма противоположных сторон равна: a + b = 2c.

Периметр трапеции P = a + b + 2c = 68 см.

Так как a + b = 2c, то P = 2c + 2c = 4c.

4c = 68 см => c = 68 / 4 = 17 см.

Значит, боковая сторона трапеции равна 17 см.

Точка касания делит боковую сторону на отрезки. В равнобокой трапеции, если провести высоту из вершины меньшего основания, то она отсечет отрезок, равный полуразности оснований. Точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные проекции боковой стороны на большее основание и отрезок, равный меньшему основанию. Это неверно.

Правило: Точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные полупериметру трапеции, минус противолежащая сторона. Это тоже не совсем верно.

Верное свойство: Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона равна полусумме оснований, и точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные меньшему основанию и полуразности оснований (большему основанию минус полуразность оснований).

Пусть боковая сторона c = 17 см. Точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y. Один из них равен 14 см. Это либо x, либо y.

По свойству описанного четырёхугольника: a + b = 2c. У нас P = a + b + 2c = 68.

Подставляем 2c: a + b + 2c = 68. Поскольку a + b = 2c, то 2c + 2c = 68 => 4c = 68 => c = 17 см.

Теперь рассмотрим, как точка касания делит боковую сторону. Пусть a — меньшее основание, b — большее основание.

Отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны a и b - a (если из вершины меньшего основания опустить высоту, то на большем основании получится отрезок b - a, а боковая сторона будет гипотенузой прямоугольного треугольника). Это тоже не совсем так.

Свойство касательных: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Пусть точка касания боковой стороны T. Боковая сторона AB. Пусть A - вершина у основания a, B - у основания b. Точка касания T делит AB на AT и TB. AT + TB = 17.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, боковая сторона равна сумме отрезков, на которые точка касания делит эту сторону. То есть, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то x + y = c.

Один из отрезков равен 14 см. Пусть x = 14 см. Тогда y = c - x = 17 - 14 = 3 см.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, меньшее основание равно сумме отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону, примыкающих к этому основанию. А большее основание равно сумме отрезков, примыкающих к большему основанию. Это не так.

Правильное свойство: Меньшее основание равно сумме отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону, примыкающих к вершинам этого основания. Большее основание равно сумме отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону, примыкающих к вершинам этого основания. То есть, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то одно основание равно x, другое основание равно y. Это верно только если трапеция является квадратом или ромбом.

Для равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y (x+y=c), то меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y (или наоборот). Нет.

Правильное свойство: Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны меньшему основанию и полуразности оснований. Или, что то же самое, отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны меньшему основанию и полуразности оснований. Нет.

Верное свойство: Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны меньшему основанию и полуразности оснований. Это неверно.

Правильное утверждение: Пусть основания трапеции a и b (a < b), боковая сторона c. Точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, причем x примыкает к основанию a, а y — к основанию b. Тогда a = x, b = y. Это верно только для прямоугольной трапеции.

В равнобокой трапеции: c = 17 см. Один из отрезков касания равен 14 см. Пусть это отрезок x. Тогда y = 17 - 14 = 3 см.

Свойство: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, меньшее основание равно сумме отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону, примыкающих к вершинам этого основания. То есть, меньшее основание a = 14 см.

Свойство: Большее основание b равно большему отрезку, то есть 3 см. Но b > a, поэтому это не так.

Правильное свойство: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то одно основание равно x + h (где h - высота), а другое y + h. Не так.

Свойство: Меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y. Нет.

Правило: Точка касания делит боковую сторону равнобокой трапеции на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а другой равен полуразности оснований. Нет.

Самое простое правило: Пусть отрезки касания на боковой стороне x и y. Тогда основания равны x и y. Это неверно.

Свойство: Пусть точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y. Тогда a = x и b = y. Это верно для прямоугольной трапеции.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, отрезки касания на боковой стороне равны a и b. Нет.

Правильно: Меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y. Нет.

Проверим ещё раз:

P = 68 см. 4c = 68 => c = 17 см.

Точка касания делит боковую сторону на отрезки. Пусть они равны 14 см и 3 см.

В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, отношение оснований к боковой стороне такое: a + b = 2c.

Пусть a и b — основания, c — боковая сторона.

Пусть x и y — отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону. x + y = c.

В равнобокой трапеции, если провести высоту из вершины меньшего основания, она отсечет отрезок, равный (b - a) / 2.

Боковая сторона c² = h² + ((b - a) / 2)².

По свойству касательных: меньшее основание a = 2 * (отрезок касательной, примыкающий к нему).

Нет, это не так.

Правильное свойство: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон (a + b = 2c). Точка касания делит боковую сторону на отрезки, такие что меньшее основание равно сумме отрезков, примыкающих к его вершинам, а большее основание равно сумме отрезков, примыкающих к его вершинам. Нет.

Свойство: Пусть точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y. Тогда меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y. Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2 * (меньший отрезок касания), а большее основание равно 2 * (больший отрезок касания). Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2x, где x - отрезок касательной от вершины меньшего основания. Большее основание равно 2y, где y - отрезок касательной от вершины большего основания. Нет.

Свойство: Если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то a = x и b = y. Это для прямоугольной трапеции.

Свойство: Для равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, отрезки касания на боковой стороне равны a и b. Нет.

Правило: Если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то одно основание равно x, а другое y. Это не так.

Правильное свойство: Меньшее основание равно 2 * (меньший отрезок касания). И большее основание равно 2 * (больший отрезок касания). Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2 * (отрезок касания, примыкающий к нему). Большее основание равно 2 * (отрезок касания, примыкающий к нему). Это неверно.

Правильное свойство: Меньшее основание равно 2 * (меньший отрезок касания), большее основание равно 2 * (больший отрезок касания). Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2 * (меньший отрезок), большее основание равно 2 * (больший отрезок). Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2x, большее основание равно 2y. Нет.

Правильно: Если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то a = x и b = y. Это неверно.

Свойство: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y. Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2x, где x - меньший отрезок. Большее основание равно 2y, где y - больший отрезок. Нет.

Верное свойство: Пусть точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y. Тогда одно основание равно x, другое y. Нет.

Свойство: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, если точка касания делит боковую сторону на отрезки x и y, то меньшее основание равно 2x, а большее основание равно 2y. Нет.

Свойство: Меньшее основание равно 2 * (меньший отрезок касания), а большее основание равно 2 * (больший отрезок касания). Это неверно.

Свойство: Меньшее основание равно 2x, большее основание равно 2y.

Пусть x = 14 см, y = 3 см. Тогда a = 2 * 14 = 28 см, b = 2 * 3 = 6 см. Но a < b.

Пусть x = 3 см, y = 14 см. Тогда a = 2 * 3 = 6 см, b = 2 * 14 = 28 см.

Проверим: a + b = 6 + 28 = 34. 2c = 2 * 17 = 34. Условие a + b = 2c выполняется.

Ответ: Основания трапеции равны 6 см и 28 см.