4. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 9. Найдите его большую сторону.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB = CD (большая сторона), BC = AD (меньшая сторона). У нас BC = AD = 9.

Рассмотрим углы, прилежащие к одной стороне, например, к стороне AB: \( \angle A \) и \( \angle B \).

Пусть биссектриса \( \angle A \) пересекает сторону BC (или ее продолжение) в точке P, а биссектриса \( \angle B \) пересекает сторону AD (или ее продолжение) в точке Q.

Условие гласит, что точка пересечения биссектрис двух углов, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Это означает, что биссектрисы углов A и B пересекаются на стороне CD. Однако, в условии сказано, что биссектрисы двух углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне. Это возможно, если рассматривать биссектрисы соседних углов, например, \( \angle A \) и \( \angle D \) (прилежат к стороне AD), и их точка пересечения лежит на стороне BC.

Let's re-evaluate the condition: "The intersection point of the bisectors of two angles adjacent to one side lies on the opposite side." This implies that the bisectors of adjacent angles (e.g., \( \angle A \) and \( \angle B \)) intersect on the opposite side (CD).

Consider the angles \( \angle A \) and \( \angle B \) adjacent to side AB. Let the bisector of \( \angle A \) be AP and the bisector of \( \angle B \) be BP, where P is on CD.

Since AP bisects \( \angle A \), \( \angle BAP = \angle PAD \). Since AB || CD, \( \angle BAP = \angle APD \) (alternate interior angles). Thus, \( \angle PAD = \angle APD \). This means triangle APD is isosceles with AD = DP.

Similarly, since BP bisects \( \angle B \), \( \angle ABP = \angle PBC \). Since AB || CD, \( \angle ABP = \angle BPC \) (alternate interior angles). Thus, \( \angle PBC = \angle BPC \). This means triangle BPC is isosceles with BC = PC.

We are given that P lies on CD.

If P is the intersection point of the bisectors of \( \angle A \) and \( \angle B \) and P lies on CD:

Consider angles \( \angle A \) and \( \angle B \) adjacent to side AB. Their sum is \( 180^\circ \).

Let the bisectors of \( \angle A \) and \( \angle B \) intersect at point P. \( \angle PAB = \frac{1}{2} \angle A \) and \( \angle PBA = \frac{1}{2} \angle B \).

In \( \triangle APB \), the sum of angles is \( 180^\circ \):

\( \angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^\circ \)

\( \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \angle APB = 180^\circ \)

\( \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) + \angle APB = 180^\circ \)

Since \( \angle A + \angle B = 180^\circ \) (consecutive interior angles), we have:

\( \frac{1}{2} (180^\circ) + \angle APB = 180^\circ \)

\( 90^\circ + \angle APB = 180^\circ \)

\( \angle APB = 90^\circ \).

Now, consider the condition that the intersection point P lies on the opposite side CD.

If P lies on CD, then AP and BP are the bisectors of \( \angle DAB \) and \( \angle ABC \) respectively.

Since AP bisects \( \angle DAB \), \( \angle DAP = \angle PAB \). Since AB || DC, \( \angle PAB = \angle APD \) (alternate interior angles). Therefore, \( \angle DAP = \angle APD \), which means \( \triangle APD \) is isosceles with AD = DP.

Since BP bisects \( \angle ABC \), \( \angle CBP = \angle PBA \). Since AB || DC, \( \angle PBA = \angle BPC \) (alternate interior angles). Therefore, \( \angle CBP = \angle BPC \), which means \( \triangle BPC \) is isosceles with BC = PC.

We know that CD = DP + PC. Since CD = AB, we have AB = DP + PC.

Also, AD = DP and BC = PC.

So, AB = AD + BC.

Since AD and BC are opposite sides, AD = BC = 9 (this is the smaller side).

This leads to AB = 9 + 9 = 18.

However, this implies that the larger side (AB) is twice the smaller side (AD or BC).

Let's verify this. If AB = 18 and AD = 9:

DP = AD = 9.

PC = BC = 9.

CD = DP + PC = 9 + 9 = 18. This matches AB.

So, the smaller side is 9, and the larger side is 18.

Ответ: 18