4. Точки А, В, С делят окружность на три части так, что градусные меры дуг АВ, ВС, АС относятся как 3:7:8 соответственно. Найдите градусную меру большего угла треугольника АВС.

Решение:

Точки A, B, C делят окружность на три дуги. Пусть градусные меры этих дуг равны 3x, 7x и 8x, где x - некоторая величина.

Полная окружность составляет 360°. Следовательно, сумма градусных мер всех дуг равна 360°:

3x + 7x + 8x = 360°

18x = 360°

x = 360° / 18

x = 20°

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• Дуга AB = 3x = 3 * 20° = 60°
• Дуга BC = 7x = 7 * 20° = 140°
• Дуга AC = 8x = 8 * 20° = 160°

Углы треугольника ABC являются вписанными углами, и каждый вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол ∠ACB опирается на дугу AB. Его мера равна:

∠ACB = (1/2) * Дуга AB = (1/2) * 60° = 30°

Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Его мера равна:

∠BAC = (1/2) * Дуга BC = (1/2) * 140° = 70°

Угол ∠ABC опирается на дугу AC. Его мера равна:

∠ABC = (1/2) * Дуга AC = (1/2) * 160° = 80°

Теперь сравним градусные меры углов треугольника ABC:

• ∠ACB = 30°
• ∠BAC = 70°
• ∠ABC = 80°

Наибольший угол в треугольнике - это угол ∠ABC, который равен 80°.

Ответ: 80°