4. Токарь должен был обработать 120 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 4 детали больше и поэтому выполнил задание на 1 час раньше срока. Сколько деталей в час стал обрабатывать токарь после того, как он усовершенствовал резец?

Решение:

1. Обозначим:
   • $$N = 120$$ деталей — общее количество деталей.
   • $$t$$ — запланированное время работы (в часах).
   • $$x$$ — запланированная производительность токаря (деталей в час).
   • $$t - 1$$ — фактическое время работы (на 1 час меньше).
   • $$x + 4$$ — фактическая производительность токаря (на 4 детали больше).
2. Запишем уравнения:
   • По плану: $$x \times t = 120$$.
   • По факту: $$(x + 4) \times (t - 1) = 120$$.
3. Выразим $$t$$ из первого уравнения: $$t = \frac{120}{x}$$.
4. Подставим $$t$$ во второе уравнение: $$(x + 4) \times (\frac{120}{x} - 1) = 120$$.
5. Раскроем скобки: $$x \times \frac{120}{x} - x \times 1 + 4 \times \frac{120}{x} - 4 \times 1 = 120$$.
6. $$120 - x + \frac{480}{x} - 4 = 120$$.
7. Перенесём все в одну сторону и приведём к общему знаменателю: $$-x + \frac{480}{x} - 4 = 0$$.
8. Умножим всё на $$x$$ (при $$x \neq 0$$): $$-x^2 + 480 - 4x = 0$$.
9. Изменим знаки и запишем как квадратное уравнение: $$x^2 + 4x - 480 = 0$$.
10. Найдём дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \times 1 \times (-480) = 16 + 1920 = 1936$$.
11. Найдём $$\sqrt{D}$$: $$\sqrt{1936} = 44$$.
12. Найдём $$x$$ (производительность по плану): $$x = \frac{-4 \pm 44}{2}$$.
13. $$x_1 = \frac{-4 - 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ (не подходит, так как производительность не может быть отрицательной).
14. $$x_2 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$$ деталей в час (плановая производительность).
15. Теперь найдём фактическую производительность: $$x + 4 = 20 + 4 = 24$$ детали в час.

Проверка:

• Плановое время: $$t = 120 / 20 = 6$$ часов.
• Фактическое время: $$t - 1 = 6 - 1 = 5$$ часов.
• По факту: $$24 \text{ дет/ч} \times 5 \text{ ч} = 120$$ деталей. Всё верно.

Ответ: 24 детали в час.