4. Три вершини квадрата ABCD мають координати: A(-2; 4), B(5; 4) i C(5; -3). Зайдіть координати вершини D.

INSIGHT:

Решение:

• Задані координати вершин квадрата ABCD: A(-2; 4), B(5; 4), C(5; -3).
• Знайдемо вектор AB: B - A = (5 - (-2); 4 - 4) = (7; 0).
• Знайдемо вектор BC: C - B = (5 - 5; -3 - 4) = (0; -7).
• Оскільки ABCD - квадрат, то вектор AD повинен бути рівним вектору BC, а вектор CD повинен бути рівним вектору BA (AB з протилежним знаком).
• Знайдемо координати D, використовуючи вектор AD = BC: D = A + BC = (-2; 4) + (0; -7) = (-2; -3).
• Перевіримо, використовуючи вектор CD = BA: D = C - BA = C - (A - B) = (5; -3) - (-7; 0) = (5 + 7; -3 - 0) = (12; -3). Цей розрахунок некоректний, оскільки напрямок BA, а не AB.
• Правильно: Вектор BA = A - B = (-2 - 5; 4 - 4) = (-7; 0).
• Вектор CD = BA => D = C - BA = (5; -3) - (-7; 0) = (5+7; -3) = (12;-3) - це також некоректно.
• Вірний підхід: Вектор AD = Вектор BC. D = A + BC = (-2; 4) + (0; -7) = (-2; -3).
• Або вектор DC = вектор AB. D = C - AB = (5; -3) - (7; 0) = (5-7; -3-0) = (-2; -3).
• Перевіримо довжини сторін: AB = √((5-(-2))² + (4-4)²) = √(7²) = 7. BC = √((5-5)² + (-3-4)²) = √((-7)²) = 7. AD = √((-2-(-2))² + (-3-4)²) = √(0² + (-7)²) = 7. CD = √((5-(-2))² + (-3-(-3))²) = √(7² + 0²) = 7.
• Всі сторони рівні 7.
• Перевіримо діагоналі: AC = √((5-(-2))² + (-3-4)²) = √(7² + (-7)²) = √(49+49) = √(98). BD = √((-2-5)² + (-3-4)²) = √((-7)² + (-7)²) = √(49+49) = √(98).
• Діагоналі рівні.

Ответ: В. (-2;-4).