4. "Турнир по шахматам" В турнире по шахматам участвовали 5 человек: Катя, Лена, Маша, Настя и Оля. Каждый сыграл с каждым по одному разу. 1. Постройте граф: Обозначьте каждого участника турнира вершиной графа. Соедините две вершины ребром, если между соответствующими участниками была сыграна партия. 2. Ответьте на вопросы: • Сколько всего партий было сыграно в турнире? (Посчитайте количество ребер). • Предположим, что Катя выиграла все свои партии, а Лена проиграла все. Как это отразится на графе? (Обсудите, как можно изменить граф, чтобы отобразить результаты турнира).

4. Граф турнира по шахматам:

1. Построение графа:

• У нас 5 участников: Катя (К), Лена (Л), Маша (М), Настя (Н), Оля (О). Каждый из них — вершина графа.
• Так как каждый сыграл с каждым по одному разу, мы соединяем каждую вершину с каждой другой вершиной ребром. Это будет полный граф с 5 вершинами (К₅).
• Граф будет выглядеть так:
  • Вершина К соединена ребрами с Л, М, Н, О.
  • Вершина Л соединена ребрами с К, М, Н, О.
  • Вершина М соединена ребрами с К, Л, Н, О.
  • Вершина Н соединена ребрами с К, Л, М, О.
  • Вершина О соединена ребрами с К, Л, М, Н.

2. Ответы на вопросы:

• а) Сколько всего партий было сыграно?

  Это количество ребер в нашем полном графе К₅. Число ребер в полном графе с n вершинами вычисляется по формуле: n * (n - 1) / 2.

  • В нашем случае n = 5.
  • Количество партий = 5 * (5 - 1) / 2 = 5 * 4 / 2 = 20 / 2 = 10 партий.
• б) Как отразится, если Катя выиграла все свои партии, а Лена проиграла все?

  В данном графе ребра просто показывают факт игры между участниками, но не результат.

  Чтобы отразить результаты, граф можно изменить следующим образом:

  • Ориентированный граф: Вместо обычных ребер использовать стрелки. Стрелка от участника А к участнику Б будет означать, что А выиграл у Б.
  • Раскраска ребер: Можно оставить неориентированный граф, но раскрасить ребра. Например, зеленым цветом — победа Кати, красным — поражение Кати (или Лена проиграла).
  • Ребра с весами: Можно присвоить ребрам значение, например, +1 за победу и -1 за поражение.

  Конкретно для нашего случая:

  • Катя выиграла все партии: Все ребра, исходящие из вершины К (Кати), должны указывать стрелкой НА другие вершины (Л, М, Н, О), или быть окрашены в цвет победы.
  • Лена проиграла все партии: Все ребра, которые ведут К вершине Л (Лене), должны исходить из других вершин (К, М, Н, О) и указывать стрелкой НА Л, или быть окрашены в цвет поражения.

  Важно: Так как Катя выиграла все, а Лена проиграла все, то между Катей и Леной также будет определен результат: Катя выиграла у Лены.

Ответ:

• Всего сыграно 10 партий.
• Результаты можно отразить, сделав граф ориентированным (стрелки указывают победителя) или раскрасив ребра (например, зеленый - победа, красный - поражение).