4. Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равен 14°. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть острые углы треугольника равны $$\alpha$$ и $$\beta$$. Биссектриса делит прямой угол (90°) на два угла по 45°. Разница между углом, образованным биссектрисой и катетом, и углом, образованным высотой и тем же катетом, равна 14°. Пусть биссектриса делит угол $$\alpha$$ на $$45°$$ и $$45°$$. Угол между биссектрисой и гипотенузой равен $$45° - \alpha$$. Угол между высотой и гипотенузой равен $$90° - \beta$$. Угол между биссектрисой и высотой равен $$|(45° - \alpha) - (90° - \beta)| = |\beta - \alpha - 45°| = 14°$$. Так как $$\alpha + \beta = 90°$$, то $$\beta = 90° - \alpha$$. $$|90° - \alpha - \alpha - 45°| = |45° - 2\alpha| = 14°$$. $$45° - 2\alpha = 14°$$ или $$45° - 2\alpha = -14°$$. $$2\alpha = 31°$$, $$\alpha = 15.5°$$. Тогда $$\beta = 90° - 15.5° = 74.5°$$. Или $$2\alpha = 59°$$, $$\alpha = 29.5°$$. Тогда $$\beta = 90° - 29.5° = 60.5°$$. Острые углы треугольника: 15.5° и 74.5°, или 29.5° и 60.5°.