4. Упростить выражение: $$\frac{3}{x-3} - \frac{x+15}{x^2-9} - \frac{2}{x}$$

Решение:

Чтобы упростить выражение, нужно привести все дроби к общему знаменателю.

1. Находим общий знаменатель:
• Знаменатель первой дроби: $$x-3$$
• Знаменатель второй дроби: $$x^2-9 = (x-3)(x+3)$$ (разность квадратов)
• Знаменатель третьей дроби: $$x$$
• Общий знаменатель для этих трех дробей будет: $$x(x-3)(x+3)$$
2. Приводим каждую дробь к общему знаменателю:
• Первая дробь $$\frac{3}{x-3}$$: нужно домножить на $$x(x+3)$$.
• $$\frac{3 \times x(x+3)}{(x-3) \times x(x+3)} = \frac{3x(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{3x^2+9x}{x(x-3)(x+3)}$$
• Вторая дробь $$\frac{x+15}{x^2-9}$$: нужно домножить на $$x$$.
• $$\frac{(x+15) \times x}{(x^2-9) \times x} = \frac{x^2+15x}{x(x^2-9)} = \frac{x^2+15x}{x(x-3)(x+3)}$$
• Третья дробь $$\frac{2}{x}$$: нужно домножить на $$(x-3)(x+3)$$.
• $$\frac{2 \times (x-3)(x+3)}{x \times (x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{2x^2-18}{x(x-3)(x+3)}$$
3. Выполняем вычитание дробей:
• $$\frac{3x^2+9x}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x^2+15x}{x(x-3)(x+3)} - \frac{2x^2-18}{x(x-3)(x+3)}$$
• Объединяем числители, помня о знаках вычитания:
• $$\frac{(3x^2+9x) - (x^2+15x) - (2x^2-18)}{x(x-3)(x+3)}$$
• Раскрываем скобки:
• $$\frac{3x^2+9x - x^2-15x - 2x^2+18}{x(x-3)(x+3)}$$
• Приводим подобные члены в числителе:
• $$3x^2 - x^2 - 2x^2 = (3-1-2)x^2 = 0x^2 = 0$$
• $$9x - 15x = (9-15)x = -6x$$
• Число $$+18$$ остается без изменений.
• Получаем числитель: $$-6x+18$$
4. Итоговая дробь:
• $$\frac{-6x+18}{x(x-3)(x+3)}$$
• Вынесем $$-6$$ из числителя:
• $$\frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}$$
• Сократим на $$(x-3)$$ (при условии, что $$x \neq 3$$):
• $$\frac{-6}{x(x+3)}$$

Ответ: $$\frac{-6}{x(x+3)}$$