4. Упростить выражение и найти его числовое значение при a = 0,15 [при b = 0,1].

Решение:

Шаг 1: Упрощаем первую часть выражения.

• \((a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1) - (a + a^3)(a^3 - a)\)
• Первая часть: \((a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)\). Если сделать замену \(x = a^2\), то получим \((x-1)(x^2+x+1) = x^3-1\). Подставляя обратно \(x = a^2\), получаем \((a^2)^3 - 1 = a^6 - 1\).
• Вторая часть: \((a + a^3)(a^3 - a)\). Вынесем \(a\) из первой скобки и \(a\) из второй: \(a(1+a^2) \cdot a(a^2-1) = a^2(1+a^2)(a^2-1)\). Используем формулу разности квадратов \((a^2-1)(a^2+1) = a^4-1\). Тогда получим \(a^2(a^4-1) = a^6 - a^2\).
• Вычитаем вторую часть из первой: \((a^6 - 1) - (a^6 - a^2) = a^6 - 1 - a^6 + a^2 = a^2 - 1\).

Шаг 2: Упрощаем вторую часть выражения.

• \[(b^3 - b^2)(b^3 + b^2) - (1 + b^2)(1 - b^2 + b^4)\]
• Первая часть: \((b^3 - b^2)(b^3 + b^2)\). Используем формулу разности квадратов: \((b^3)^2 - (b^2)^2 = b^6 - b^4\).
• Вторая часть: \((1 + b^2)(1 - b^2 + b^4)\). Это формула суммы кубов \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\) где \(x=1\) и \(y=b^2\). Получаем \(1^3 + (b^2)^3 = 1 + b^6\).
• Вычитаем вторую часть из первой: \((b^6 - b^4) - (1 + b^6) = b^6 - b^4 - 1 - b^6 = -b^4 - 1\).

Шаг 3: Объединяем упрощенные части.

• Выражение выглядит как \( (a^2 - 1) + (-b^4 - 1) = a^2 - b^4 - 2 \).

Шаг 4: Находим числовое значение.

• Подставляем \(a = 0.15\) и \(b = 0.1\).
• \((0.15)^2 - (0.1)^4 - 2\)
• \(0.0225 - 0.0001 - 2\)
• \(0.0224 - 2\)
• \(-1.9776\)

Ответ: -1.9776