4. Упростить выражение: \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a-b}\cdot\frac{2a-2b}{ab}\right)\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-b^2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим произведение в скобках: \(\frac{1}{a-b}\cdot\frac{2a-2b}{ab}=\frac{1}{a-b}\cdot\frac{2(a-b)}{ab}=\frac{2}{ab}\).

Тогда выражение в скобках равно:

\[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{2}{ab}=\frac{b^2+a^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}.\]

Умножим и разложим разность квадратов:

\[\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}.\]

Ответ: \(\frac{a-b}{a+b}\).