4. Упростите выражение: 1) (2y² − 5xy)/(x² − 4y²) − x/(2y − x) − y/(x + 2y); 2) (x − 1)/(2x − 6) − 1/x − (3x − 3)/(2x² − 6x); 3) (m + 2)/(4m² − 16m + 16) − 1/(3m − 6); 4) (y + 12)/(8y + 32) − (y + 4)/(8y − 32) + 9/(y² − 16); 5) (a + 2)/(a² + 2a + 4) − 1/(a − 2) + (a³ + 2a)/(a³ − 8).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители; также \(2y-x=-(x-2y)\): \[\frac{2y^2-5xy}{(x-2y)(x+2y)}+\frac{x}{x-2y}-\frac{y}{x+2y}=\frac{2y^2-5xy+x(x+2y)-y(x-2y)}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)}=\frac{x-2y}{x+2y}.\] Ограничения исходного выражения: \(x\ne2y\) и \(x\ne-2y\).
Общий знаменатель — \(2x(x-3)\): \[\frac{x(x-1)-2(x-3)-(3x-3)}{2x(x-3)}=\frac{(x-3)^2}{2x(x-3)}=\frac{x-3}{2x}.\] Ограничения: \(x\ne0,3\).
Так как \(4m^2-16m+16=4(m-2)^2\) и \(3m-6=3(m-2)\), \[\frac{3(m+2)-4(m-2)}{12(m-2)^2}=\frac{14-m}{12(m-2)^2},\] где \(m\ne2\).
Сокращаем первые дроби и приводим к общему знаменателю: \[\frac{(y+12)(y-4)-(y+4)^2+72}{8(y-4)(y+4)}=\frac8{8(y^2-16)}=\frac1{y^2-16}.\] Ограничения: \(y\ne-4,4\).
Используем \(a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)\): \[\frac{(a+2)(a-2)-(a^2+2a+4)+(a^3+2a)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\frac{a^3-8}{a^3-8}=1.\] Ограничение исходного выражения: \(a\ne2\).

Ответ: