4. Упростите выражение: a) a^3 * a^9 / a^4 * a^2; б) (a^2)^4 * a^3 / a^5. Вариант 3

Решение:

а) \( \frac{a^3 \cdot a^9}{a^4 \cdot a^2} \)

1. Сначала упростим числитель, используя свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \( a^3 \cdot a^9 = a^{3+9} = a^{12} \).
2. Упростим знаменатель: \( a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6 \).
3. Теперь разделим: \( \frac{a^{12}}{a^6} \)
4. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( a^{12-6} = a^6 \).

б) \( \frac{(a^2)^4 \cdot a^3}{a^5} \)

1. Сначала раскроем скобки в числителе, используя свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8 \).
2. Теперь числитель выглядит так: \( a^8 \cdot a^3 \). Упростим его: \( a^8 \cdot a^3 = a^{8+3} = a^{11} \).
3. Теперь разделим: \( \frac{a^{11}}{a^5} \)
4. Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( a^{11-5} = a^6 \).

Ответ: а) \( a^6 \); б) \( a^6 \)