4. Упростите выражение (n — целое число): а) 14ⁿ/(2ⁿ⁻² · 7ⁿ); б) 36ⁿ⁺¹/6²ⁿ⁺¹; в) (x⁶ⁿyⁿ⁺³)/(x²ⁿyⁿ⁺⁴); г) (a⁻²ⁿ + aⁿ)/a⁻ⁿ; д) (6ⁿ⁺¹ + 6ⁿ⁺³)/37; е) (5ⁿ + 1)/(5⁻ⁿ + 1).

1. а) \(14^n=2^n7^n\), поэтому \(\frac{14^n}{2^{n-2}7^n}=2^{n-(n-2)}=2^2=4\).

2. б) \(36^{n+1}=6^{2n+2}\), поэтому \(\frac{6^{2n+2}}{6^{2n+1}}=6\).

3. в) \(x^{6n-2n}y^{n+3-(n+4)}=x^{4n}y^{-1}=\frac{x^{4n}}y\).

4. г) Делим каждое слагаемое числителя на \(a^{-n}\): \(a^{-2n-(-n)}+a^{n-(-n)}=a^{-n}+a^{2n}\).

5. д) Выносим общий множитель: \(\frac{6^{n+1}(1+6^2)}{37}=6^{n+1}\).

6. е) Умножаем числитель и знаменатель на \(5^n\): \(\frac{5^{2n}+5^n}{1+5^n}=5^n\). При целом \(n\) знаменатель исходной дроби не равен нулю.

Ответ: а) 4; б) 6; в) x⁴ⁿ/y; г) a⁻ⁿ + a²ⁿ; д) 6ⁿ⁺¹; е) 5ⁿ.