4. Упростите выражения: a) \(\sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x\); б) \((1 - \cos^2 x) \text{ctg}^2 x\)

Решение:

a) Вынесем общий множитель \(\sin^2 x\):

\[ \sin^2 x \cos^2 x + \sin^4 x = \sin^2 x (\cos^2 x + \sin^2 x) \] Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[ \sin^2 x (1) = \sin^2 x \]

б) Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), откуда \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Также вспомним, что \(\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\), значит \(\text{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\):

\[ (1 - \cos^2 x) \text{ctg}^2 x = \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x \]

Ответ: а) \(\sin^2 x\); б) \(\cos^2 x\).