5. Найдите производную функции: a) \(y = 5x^4 - 7x^2 - x\); б) \(y = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\); в) \(y = \frac{x^2}{x+1}\)

Решение:

a) Используем правило дифференцирования степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\) и линейности производной:

\[ y' = (5x^4 - 7x^2 - x)' = 5(x^4)' - 7(x^2)' - (x)' = 5(4x^3) - 7(2x) - 1 = 20x^3 - 14x - 1 \]

б) Сначала раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):

\[ y = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1 \] Теперь найдём производную:

\[ y' = (x^4 - 1)' = (x^4)' - (1)' = 4x^3 - 0 = 4x^3 \]

в) Используем правило дифференцирования частного \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). Здесь \(u = x^2\) и \(v = x+1\). Тогда \(u' = 2x\) и \(v' = 1\):

\[ y' = \frac{(x^2)'(x+1) - x^2(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]

Ответ: а) \(y' = 20x^3 - 14x - 1\); б) \(y' = 4x^3\); в) \(y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}\).