4. В четырёхугольнике ABCD: AB = CD и AB ∥ CD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим диагональ AC. Треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними: AB = CD, AC — общая сторона, а ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие углы при AB ∥ CD.

Из равенства треугольников следует, что ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, значит, BC ∥ AD.

Получили, что обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.