4. В четырёхугольнике ABCD: AB = CD, угол ABD равен 40°, угол CDB равен 40°. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. Имеем AB = CD по условию, BD — общая сторона, ∠ABD = ∠CDB = 40°. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠CBD. Эти углы — накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей DB, поэтому AD ∥ BC. Кроме того, равенство ∠ABD и ∠CDB означает, что AB ∥ CD: это также накрест лежащие углы при секущей BD.

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.