4. В группе учится 25 студентов, из них 20 студентов получили зачёт по экономике и 15 студентов получили зачёт по английскому языку. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этой группе 1) 5 студентов не получили зачёта ни по экономике, ни по английскому языку; 2) хотя бы 10 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку; 3) найдётся студент, который не получил зачёта по английскому языку, но получил зачёт по экономике. 4) не больше 20 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку. В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ:

Краткое пояснение:

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включения-исключения и свойствами множеств.

Пошаговое решение:

1. Обозначения:
• Всего студентов: \( N = 25 \)
• Сдали экономику: \( E = 20 \)
• Сдали английский: \( A = 15 \)
2. Утверждение 1: Максимальное количество студентов, не сдавших ни один предмет, может быть найдено, если предположить, что все, кто сдал один предмет, не сдали другой. Однако, нам нужно найти минимальное число не сдавших. Используем формулу: \( N - (E \cup A) = N - (E + A - (E \cap A)) \). Нам нужно найти \( E \cap A \) (сдали оба предмета).
3. Находим пересечение \( E \cap A \): Минимальное число студентов, сдавших оба предмета, равно \( E + A - N = 20 + 15 - 25 = 10 \).
4. Проверяем утверждение 1: Если 10 студентов сдали оба предмета, то сдали хотя бы один предмет \( 20 + 15 - 10 = 25 \) студентов. Значит, 0 студентов не сдали ни один предмет. Утверждение 1 (5 студентов не сдали) неверно.
5. Проверяем утверждение 2: Мы нашли, что минимальное количество студентов, сдавших оба предмета, равно 10. Следовательно, утверждение «хотя бы 10 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку» верно.
6. Проверяем утверждение 3: Так как 20 студентов сдали экономику, а всего студентов 25, то \( 25 - 20 = 5 \) студентов НЕ сдали экономику. Из этих 5, возможно, все сдали английский. Однако, если 10 студентов сдали оба предмета, то \( 20 - 10 = 10 \) сдали только экономику, и \( 15 - 10 = 5 \) сдали только английский. В этом случае 5 студентов не сдали экономику, и 10 студентов не сдали английский. Таким образом, найдется студент, который не получил зачета по английскому языку, но получил зачет по экономике (таких 10). Утверждение 3 верно.
7. Проверяем утверждение 4: Максимальное количество студентов, сдавших оба предмета, не может превышать меньшее из сдавших по каждому предмету, то есть 15. \( E \cap A \) может быть от 10 до 15. Таким образом, не больше 15 студентов получили зачёты и по экономике, и по английскому языку. Утверждение «не больше 20» также верно, так как 15 \(\le\) 20.

Ответ: 234