4. В коробке «Ассорти» 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова вероятность того, что: а) обе конфеты окажутся с любимой Таниной начинкой – шоколадной; б) конфеты окажутся с разными начинками?

Решение:

Всего конфет: 20.

Шоколадных конфет: 12.

Фруктовых конфет: 8.

Таня берет две конфеты.

а) Вероятность того, что обе конфеты шоколадные.

Вероятность того, что первая конфета шоколадная:

\( P(\text{1-я ш.)} = \frac{12}{20} \)

После того, как взяли одну шоколадную конфету, осталось 19 конфет, из них 11 шоколадных.

Вероятность того, что вторая конфета тоже шоколадная:

\( P(\text{2-я ш. | 1-я ш.}) = \frac{11}{19} \)

Вероятность того, что обе конфеты шоколадные:

\( P(\text{обе ш.}) = P(\text{1-я ш.}) \cdot P(\text{2-я ш. | 1-я ш.}) = \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} = \frac{3}{5} \cdot \frac{11}{19} = \frac{33}{95} \)

б) Вероятность того, что конфеты окажутся с разными начинками.

Это означает, что первая конфета шоколадная, а вторая фруктовая, ИЛИ первая фруктовая, а вторая шоколадная.

Случай 1: Первая шоколадная, вторая фруктовая.

\( P(\text{1-я ш., 2-я фр.}) = \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} \)

Случай 2: Первая фруктовая, вторая шоколадная.

\( P(\text{1-я фр., 2-я ш.}) = \frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} \)

Общая вероятность того, что начинки разные:

\( P(\text{разные}) = \frac{12}{20} \cdot \frac{8}{19} + \frac{8}{20} \cdot \frac{12}{19} = \frac{96}{380} + \frac{96}{380} = \frac{192}{380} \)

Упростим дробь:

\( \frac{192}{380} = \frac{96}{190} = \frac{48}{95} \)

Альтернативный способ для пункта б:

Вероятность того, что обе конфеты будут одного типа (обе шоколадные ИЛИ обе фруктовые). Мы уже нашли вероятность того, что обе шоколадные (33/95). Найдем вероятность того, что обе фруктовые:

\( P(\text{обе фр.}) = \frac{8}{20} \cdot \frac{7}{19} = \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{19} = \frac{14}{95} \)

Вероятность того, что обе конфеты одного типа:

\( P(\text{одинаковые}) = P(\text{обе ш.}) + P(\text{обе фр.}) = \frac{33}{95} + \frac{14}{95} = \frac{47}{95} \)

Вероятность того, что конфеты с разными начинками, равна 1 минус вероятность того, что они с одинаковыми начинками:

\( P(\text{разные}) = 1 - P(\text{одинаковые}) = 1 - \frac{47}{95} = \frac{95 - 47}{95} = \frac{48}{95} \)

Ответ: а) \( \frac{33}{95} \); б) \( \frac{48}{95} \)