4. В окружности хорды AC и BD пересекаются в точке M. AC = 13, BM = 4,5, MD = 9. Найти AM и MC.

По теореме о пересекающихся хордах:

\[AM\cdot MC=BM\cdot MD=4.5\cdot9=40.5.\]

Так как M лежит на хорде AC,

\[AM+MC=AC=13.\]

Обозначим \(AM=x\), тогда \(MC=13-x\). Получаем:

\[x(13-x)=40.5,\]

\[x^2-13x+40.5=0.\]

Дискриминант:

\[D=13^2-4\cdot40.5=169-162=7.\]

Отсюда

\[x=\frac{13\pm\sqrt7}{2}.\]

Следовательно, отрезки \(AM\) и \(MC\) имеют длины \(\frac{13-\sqrt7}{2}\) и \(\frac{13+\sqrt7}{2}\) в некотором порядке.

Ответ: \(AM,MC=\frac{13-\sqrt7}{2}\) и \(\frac{13+\sqrt7}{2}\).