4. В окружности пересекаются хорды АС и BD в точке К. Известно, что АК = 12 см <КС = 3 см. Отрезок KD на 9 см больше отрезка ВК. Найдите длину хорды BD. (Puc.3)

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. То есть:

\( AK \cdot KC = BK \cdot KD \).

По условию:

\( AK = 12 \) см

\( KC = 3 \) см

\( KD = BK + 9 \) см

Подставим известные значения в формулу:

\( 12 \cdot 3 = BK \cdot (BK + 9) \)

\( 36 = BK^2 + 9BK \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( BK^2 + 9BK - 36 = 0 \).

Решим это квадратное уравнение относительно \( BK \). Можно использовать формулу дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac \)

\( D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \).

Теперь найдём значения \( BK \):

\( BK_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

\( BK_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12 \).

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, \( BK = 3 \) см.

Теперь найдём длину отрезка \( KD \):

\( KD = BK + 9 = 3 + 9 = 12 \) см.

Длина хорды \( BD \) равна сумме длин её отрезков \( BK \) и \( KD \):

\( BD = BK + KD = 3 + 12 = 15 \) см.

Ответ: 15 см.