6. АВ — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 25 см и 4 3см, А и В — точки касания. Найдите длину отрезка АВ. (Puc.4)

Решение:

Пусть \( r_1 = 25 \) см — радиус большей окружности с центром \( O_1 \), и \( r_2 = 43 \) см — радиус меньшей окружности с центром \( O_2 \).

\( A \) — точка касания большей окружности с прямой \( AB \), \( B \) — точка касания меньшей окружности с прямой \( AB \).

\( O_1A \perp AB \) и \( O_2B \perp AB \).

Проведём прямую через \( O_2 \) параллельно \( AB \). Пусть она пересекает \( O_1A \) в точке \( C \).

Тогда \( ACO_2B \) — прямоугольная трапеция, а \( CO_2BA \) — прямоугольник.

\( CO_2 = AB \) и \( AC = O_2B = r_2 \).

\( O_1C = O_1A - AC = r_1 - r_2 \).

В прямоугольном треугольнике \( O_1CO_2 \) по теореме Пифагора:

\( O_1O_2^2 = O_1C^2 + CO_2^2 \).

Так как окружности касаются внешне, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:

\( O_1O_2 = r_1 + r_2 \).

\( O_1O_2 = 25 + 43 = 68 \) см.

\( O_1C = r_1 - r_2 = 25 - 43 = -18 \) см. Здесь возникла проблема, радиус большей окружности должен быть больше. Если \( r_1=43 \) и \( r_2=25 \).

Переопределим радиусы:

Пусть \( r_1 = 43 \) см — радиус большей окружности с центром \( O_1 \), и \( r_2 = 25 \) см — радиус меньшей окружности с центром \( O_2 \).

\( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 43 + 25 = 68 \) см.

\( O_1C = r_1 - r_2 = 43 - 25 = 18 \) см.

Теперь подставим в теорему Пифагора:

\( 68^2 = 18^2 + AB^2 \)

\( 4624 = 324 + AB^2 \)

\( AB^2 = 4624 - 324 = 4300 \)

\( AB = \sqrt{4300} = \sqrt{100 \cdot 43} = 10\sqrt{43} \) см.

Ответ: \( 10\sqrt{43} \) см.