4. В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке K. KC = 6 см, AK = 8 см, BK + DK = 21 см. Найдите длины ВК и DK.

Решение:

1. Дано: Хорды AB и CD пересекаются в точке K. \( KC = 6 \) см, \( AK = 8 \) см, \( BK + DK = 21 \) см.

Найти: Длины \( BK \) и \( DK \).

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равны: \( AK \times BK = KC \times DK \)
2. Подставим известные значения: \( 8 \times BK = 6 \times DK \)
3. Выразим \( BK \) через \( DK \) (или наоборот): \( BK = \frac{6}{8} DK = \frac{3}{4} DK \)
4. Теперь используем второе условие: \( BK + DK = 21 \)
5. Подставим выражение для \( BK \): \( \frac{3}{4} DK + DK = 21 \)
6. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{3}{4} DK + \frac{4}{4} DK = 21 \)
7. \( \frac{7}{4} DK = 21 \)
8. \( DK = 21 \times \frac{4}{7} = 3 \times 4 = 12 \) см.
9. Теперь найдём \( BK \): \( BK = 21 - DK = 21 - 12 = 9 \) см.
10. Проверим по первому условию: \( AK \times BK = 8 \times 9 = 72 \), \( KC \times DK = 6 \times 12 = 72 \). Условие выполняется.

Ответ: BK = 9 см, DK = 12 см.