4. В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке М, МВ = 10 см, АМ = 12 см, DC = 23 см. Найдите длины СМ и DM.

Решение:

1. Дано: Хорды AB и CD пересекаются в точке M. \( MB = 10 \) см, \( AM = 12 \) см, \( DC = 23 \) см.

Найти: Длины \( CM \) и \( DM \).

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков каждой хорды равны: \( AM \times MB = CM \times DM \)
2. Подставим известные значения: \( 12 \times 10 = CM \times DM \)
3. \( 120 = CM \times DM \)
4. Также известно, что \( DC = CM + DM = 23 \) см.
5. Пусть \( CM = x \). Тогда \( DM = 23 - x \).
6. Подставим в уравнение произведения отрезков: \( x(23 - x) = 120 \)
7. \( 23x - x^2 = 120 \)
8. \( x^2 - 23x + 120 = 0 \)
9. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \times 1 \times 120 = 529 - 480 = 49 \).
10. \( \text{sqrt}(D) = 7 \).
11. Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)
12. \( x_2 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
13. Таким образом, возможны два варианта: \( CM = 15 \) см и \( DM = 8 \) см, или \( CM = 8 \) см и \( DM = 15 \) см.

Ответ: CM = 15 см, DM = 8 см (или наоборот).