4. В окружности проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и DK.

Задание 4. Хорды в окружности

Дано:

• Две хорды AB и CD пересекаются в точке K.
• \( KC = 6 \) см.
• \( AK = 8 \) см.
• \( BK + DK = 28 \) см.

Найти: \( BK \) и \( DK \).

Решение:

1. Используем свойство пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
2. \( AK × BK = CK × DK \)
3. Подставим известные значения: \( 8 × BK = 6 × DK \).
4. Из этого уравнения выразим \( BK \): \( BK = \frac{6 × DK}{8} = \frac{3}{4} DK \).
5. Теперь используем второе условие: \( BK + DK = 28 \).
6. Подставим выражение для \( BK \) из п. 4 в п. 5: \( \frac{3}{4} DK + DK = 28 \).
7. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{3 DK + 4 DK}{4} = 28 \)
8. \( \frac{7 DK}{4} = 28 \)
9. \( 7 DK = 28 × 4 = 112 \)
10. \( DK = \frac{112}{7} = 16 \) см.
11. Теперь найдем \( BK \), используя \( BK = \frac{3}{4} DK \): \( BK = \frac{3}{4} × 16 = 3 × 4 = 12 \) см.
12. Проверим условие \( BK + DK = 28 \): \( 12 + 16 = 28 \). Верно.

Ответ: BK = 12 см, DK = 16 см.