5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.

Решение:

1. Связь квадрата и окружности: Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности. Диаметр окружности d = 8 см. Радиус окружности r = d/2 = 8/2 = 4 см.
2. Прямоугольный треугольник в окружности: Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности. Гипотенуза треугольника = 8 см.
3. Найдем катеты: Обозначим острые углы как 30° и 60° (так как сумма углов в треугольнике 180°, а один угол прямой). Пусть один острый угол равен 30°. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Катет1 = 8 см / 2 = 4 см.
4. Найдем второй катет: Используем теорему Пифагора: Катет1² + Катет2² = Гипотенуза². 4² + Катет2² = 8². 16 + Катет2² = 64. Катет2² = 64 - 16 = 48. Катет2 = √48 = √(16 * 3) = 4√3 см.
5. Найдем площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. S = (1/2) * Катет1 * Катет2 = (1/2) * 4 см * 4√3 см = 8√3 см².

Ответ: 8√3 см²