4) В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30. Площадь ее поверхности равна 2588. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение:

1. Найдём площадь основания призмы: \[ S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240 \text{ ед.}^2 \]
2. Найдём сторону ромба. Катеты прямоугольного треугольника равны \( \frac{16}{2} = 8 \) и \( \frac{30}{2} = 15 \). По теореме Пифагора: \[ a^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \] \[ a = \sqrt{289} = 17 \text{ ед.} \] Периметр ромба: \( P = 4a = 4 \cdot 17 = 68 \text{ ед.} \)
3. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_{полн} - 2 S_{осн} = 2588 - 2 \cdot 240 = 2588 - 480 = 2108 \text{ ед.}^2 \).
4. Найдём боковое ребро (высоту призмы): \( h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{2108}{68} = 31 \text{ ед.} \)

Ответ: 31.