4*. В параллелограмме ABCD AD=6 см. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A-B-K, D-C-P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. Найдите M₁M₂.

Пусть \(AB=a\), а угол между сторонами AB и BC равен \(\theta\). Выберем координаты \(B=(0,0)\), \(C=(b\cos\theta,b\sin\theta)\), где \(b=BC=AD=6\). Тогда \(A=(-a,0)\), \(D=(b\cos\theta-a,b\sin\theta)\).

Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются на прямой, параллельной AB и CD, на высоте \(b\sin\theta/2\). Биссектрисы углов KBC и BCP, поскольку K и P лежат на продолжениях оснований, имеют направления, симметричные первым биссектрисам относительно перпендикуляра к основаниям; их пересечение находится на той же средней линии, но сдвинуто вдоль неё на длину \(b\).

Следовательно, расстояние между точками пересечения равно \(b=AD=6\) см.

Ответ: 6 см.