4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Поскольку AM — биссектриса угла A = 60°, получаем ∠BAM = ∠MAD = 30°. В параллелограмме AD ∥ BC, а M лежит на BC, следовательно, AD ∥ BM. Поэтому ∠AMB = ∠MAD = 30°.

В треугольнике ABM углы при A и M равны, значит, противолежащие им стороны равны: BM = AB = 6.

Так как AM ⟂ DM и DM = AB − BM = 0? Это равенство не следует из условия, поэтому найдём длины через геометрию. Положим A = (0, 0), AB = (6, 0), а AD = (s/2, √3s/2), где s = AD, поскольку ∠DAB = 60°. Тогда M находится на BC и AM направлен под углом 30° к AB; из пересечения луча AM со стороной BC следует BM = AB = 6, откуда BC = 6 и AD = 6. Однако при этом DM перпендикулярно AM не выполняется: в координатах D = (3, 3√3), M = (9, 3√3), и вектор DM горизонтален, а AM не горизонтален.

Условия противоречивы. Более непосредственно: из биссектрисы и AD ∥ BM следует BM = AB = 6. Тогда DM ∥ AB, поскольку DM соединяет точки D и M и при BM = AB четырёхугольник ABMD является параллелограммом; следовательно, DM не может быть перпендикулярен AM при ∠BAM = 30° и ∠AMB = 30° (угол между DM и AM равен 30°, а не 90°).

Таким образом, параллелограмма, удовлетворяющего всем указанным условиям, не существует. Периметр определить нельзя.