4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 74°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим AB = a. В параллелограмме CD = AB = a, а по условию AC = 2a. Рассмотрим треугольник ACD: его стороны AC и CD относятся как 2:1, а угол между ними равен 74°.

Пусть θ — угол между диагоналями. По теореме косинусов для треугольника ACD получаем AD² = (2a)² + a² − 2·2a·a·cos 74° = 4a²(1 − cos 74°).

Обозначим векторы сторон AB и AD через u и v. Диагонали имеют направления u + v и v − u, поэтому их скалярное произведение равно |v|² − |u|² = AD² − AB². Также AC² = |u + v|² = 4a². Из этих соотношений следует cos θ = sin 37°, следовательно, острый угол между диагоналями θ = 53°.

Ответ: 53°.