№ 4. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне AB. ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр параллелограмма равен 64 см.

Так как \(BD\perp AB\), треугольник ABD прямоугольный, причём \(\angle ABD=90^\circ\). При \(\angle ADB=30^\circ\) получаем \(\angle BAD=60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ABD сторона AD лежит напротив угла \(90^\circ\), а AB — напротив угла \(30^\circ\). Поэтому \(AB=\frac{AD}{2}\).

Периметр параллелограмма: \(2(AB+AD)=64\), значит \(AB+AD=32\).

Подставим \(AB=\frac{AD}{2}\): \(\frac{AD}{2}+AD=32\), откуда \(AD=\frac{64}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{64}{3}\) см.