4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как KE — биссектриса угла K, то ∠MKE = ∠EKP. Стороны MN и KP параллельны, поэтому ∠EKP = ∠KEM (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠MKE = ∠KEM, и в треугольнике KME равны противоположные этим углам стороны: KM = ME. Значит, треугольник KME равнобедренный.

б) Из равенства KM = ME получаем KM = 10 см. Периметр параллелограмма выражается формулой 2(KM + KP) = 52, поэтому KM + KP = 26. Тогда KP = 26 − 10 = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.