4. В параллелограмме \(MNPK\) на сторонах \(MN\) и \(MK\) соответственно взяты точки \(A\) и \(B\) таким образом, что \(AM=AN\), \(MB=2BK\). а) Выразите через векторы \(\vec a=\overrightarrow{MN}\) и \(\vec b=\overrightarrow{MK}\) вектор \(\overrightarrow{AB}\). б) Существует ли такое число \(k\), что выполняется равенство \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{NP}\)?

а) Из \(AM=AN\) следует, что \(A\) — середина стороны \(MN\), поэтому \(\overrightarrow{MA}=\frac12\vec a\). Из \(MB=2BK\) получаем \(MB:BK=2:1\), значит, \(\overrightarrow{MB}=\frac23\vec b\).

По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\). При этом \(\overrightarrow{AM}=\frac12\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\frac12\vec a+\frac23\vec b\).

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MK}=\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{AB}=\frac12\vec a+\frac23\overrightarrow{NP}\). Поскольку \(\vec a\) и \(\vec b\) не обязаны быть коллинеарными (в невырожденном параллелограмме они неколлинеарны), слагаемое \(\frac12\vec a\) не позволяет представить \(\overrightarrow{AB}\) как кратное одному только \(\overrightarrow{NP}\). Ответ: такого числа \(k\) не существует.

Ответ: а) \(\overrightarrow{AB}=\frac12\vec a+\frac23\vec b\); б) нет.