4. В пирамиде РАВС боковое ребро РА перпендикулярно к основанию АВС, а грань РВС составляет с ним угол 60°, АB=AC=5, BC=8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Решение:

• Дано: Пирамида РАВС, РА ⊥ АВС. Основание АВС — равнобедренный треугольник (AB=AC=5, BC=8). Угол между гранью РВС и основанием АВС равен 60°.
• Найдем площадь боковой поверхности, которая состоит из площадей треугольников РАВ, РАС и РВС.
• 1. Площадь основания АВС:
• Найдем высоту ВН равнобедренного треугольника АВС (где Н — середина ВС).
• BH = sqrt(AB^2 - BH^2) = sqrt(5^2 - 4^2) = sqrt(25 - 16) = sqrt(9) = 3.
• Площадь основания S_ABC = 1/2 * BC * BH = 1/2 * 8 * 3 = 12.
• 2. Находим высоту пирамиды РА.
• Угол между гранью РВС и основанием равен 60°. Чтобы найти этот угол, проведем из точки пересечения высоты грани РВС (это апофема) и высоты основания перпендикуляры к линии пересечения плоскостей (ВС).
• Пусть М — середина ВС. Тогда ВМ = МС = 4.
• Так как основание равнобедренное, медиана РМ является и высотой грани РВС.
• Угол между РМ и основанием (линией ВМ) равен 60°.
• В прямоугольном треугольнике РМВ, угол РМВ = 60°.
• РА ⊥ АВС, значит, РА ⊥ АМ.
• В прямоугольном треугольнике РМА, угол РАМ = 90°.
• Угол между гранью РВС и основанием АВС — это угол между РМ и АМ.
• Проведем АМ. В треугольнике АВС: AM = sqrt(AB^2 - BM^2) = sqrt(5^2 - 4^2) = 3.
• Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения (ВС).
• РМ ⊥ ВС (так как РВС — равнобедренный треугольник, т.к. РА=РА, АВ=АС, следовательно, РВ=РС).
• АМ ⊥ ВС (так как АВС — равнобедренный треугольник).
• Угол РМА = 60°.
• В прямоугольном треугольнике РМА: tan(60°) = РА/АМ => РА = АМ * tan(60°) = 3 * sqrt(3).
• 3. Находим длины боковых ребер РВ и РС.
• В прямоугольном треугольнике РАВ: PB^2 = PA^2 + AB^2 = (3*sqrt(3))^2 + 5^2 = 27 + 25 = 52. PB = sqrt(52) = 2*sqrt(13).
• Так как треугольник АВС равнобедренный (АВ=АС), то РВ=РС.
• 4. Площадь боковой поверхности.
• Площадь грани РАВ = 1/2 * АВ * РА = 1/2 * 5 * 3*sqrt(3) = 7.5*sqrt(3).
• Площадь грани РАС = 1/2 * АС * РА = 1/2 * 5 * 3*sqrt(3) = 7.5*sqrt(3).
• Площадь грани РВС = 1/2 * BC * PM. Найдем PM: PM = sqrt(PA^2 + AM^2) = sqrt((3*sqrt(3))^2 + 3^2) = sqrt(27 + 9) = sqrt(36) = 6.
• Площадь грани РВС = 1/2 * 8 * 6 = 24.
• Общая площадь боковой поверхности = S_РАВ + S_РАС + S_РВС = 7.5*sqrt(3) + 7.5*sqrt(3) + 24 = 15*sqrt(3) + 24.

Ответ: 24 + 15√3