4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°). AC+BC = 17 см, радиус вписанной в него окружности равен 2 см. Найти S_△.

Решение:

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле: \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза.

Дано:

• \( ∠ C = 90^\circ \)
• \( AC + BC = 17 \) см
• \( r = 2 \) см

1. Пусть \( a = BC \) и \( b = AC \). Тогда \( a + b = 17 \) см.
2. Из формулы радиуса вписанной окружности: \( 2 = \frac{a+b-c}{2} \).
3. Подставим \( a+b=17 \): \( 2 = \frac{17-c}{2} \).
4. Решим уравнение относительно \( c \): \( 4 = 17 - c \) \( c = 17 - 4 \) \( c = 13 \) см.
5. Теперь, зная катеты и гипотенузу, найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} ab \).
6. Также площадь можно найти по формуле: \( S = rs \), где \( s \) — полупериметр. \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.
7. \( S = 2 0 15 = 30 \) см².
8. Можно также найти катеты, если решить систему уравнений: \( a+b=17 \) и \( a^2+b^2=c^2=13^2=169 \). \( (a+b)^2 = 17^2 \) \( a^2+2ab+b^2 = 289 \) \( 169+2ab = 289 \) \( 2ab = 289-169 = 120 \) \( ab = 60 \).
9. Площадь \( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} 0 60 = 30 \) см².

Ответ: Площадь треугольника равна 30 см².