4. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°, разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 18,3 см. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°.

Пусть один из острых углов равен 30°, например, ∠A = 30°.

Тогда второй острый угол ∠B = 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике:

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Это меньший катет.
• Катет, лежащий против угла в 60°, равен произведению гипотенузы на $$\binom{\text{sqrt}}(3)/2$$. Это больший катет.

Пусть гипотенуза равна 'c', а катеты 'a' и 'b'.

Если ∠A = 30°, то катет 'a' (противолежащий углу A) является меньшим катетом, и $$a = c/2$$.

Если ∠B = 30°, то катет 'b' (противолежащий углу B) является меньшим катетом, и $$b = c/2$$.

В любом случае, меньший катет равен половине гипотенузы.

Дано:

• Разность гипотенузы и меньшего катета = 18,3 см.
• Гипотенуза = c
• Меньший катет = a = c/2

Составляем уравнение:

• $$c - a = 18.3$$
• $$c - \frac{c}{2} = 18.3$$
• $$\frac{c}{2} = 18.3$$
• $$c = 18.3 \times 2$$
• $$c = 36.6$$

Ответ: 36,6 см