4. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, ∠A = 45°, BH — высота трапеции, AD = 16. Найдите BC и площадь трапеции (S), если BCDH — квадрат.

Поскольку \(BCDH\) — квадрат, его стороны равны: \(BC=BH=DH\). Треугольник \(ABH\) прямоугольный, а \(\angle A=45°\), поэтому он равнобедренный и \(AH=BH\).

Основание \(AD\) состоит из отрезков \(AH\) и \(HD\). Следовательно, \(AD=AH+HD=BH+BH=16\), откуда \(BH=8\). Значит, \(BC=8\), а высота трапеции равна \(BH=8\).

\(S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot BH=\dfrac{16+8}{2}\cdot 8=96\).

Ответ: \(BC=8\), \(S=96\).