4.В прямоугольную трапецию АВСD вписана окружность, точка касания делит большую боковую сторону на отрезки СЕ=9см и ED=16см. Чему равен периметр трапеции.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD.
• Вписана окружность.
• Точка касания E на большей боковой стороне CD.
• CE = 9 см.
• ED = 16 см.

Найти: Периметр трапеции P.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD, большая боковая сторона CD является касательной к вписанной окружности.

Точка касания E делит сторону CD на отрезки CE = 9 см и ED = 16 см.

Следовательно, длина большей боковой стороны CD = CE + ED = 9 см + 16 см = 25 см.

В прямоугольной трапеции, одна из боковых сторон (AD) является высотой, и она перпендикулярна основаниям AB и CD (если CD - большая боковая сторона, то AD - высота).

Рассмотрим свойства касательных, проведенных из вершины трапеции к вписанной окружности.

Пусть точка касания окружности с основанием BC будет F, с основанием AB будет G, а с боковой стороной AD будет H.

Из свойств касательных:

• CE = CF = 9 см.
• ED = DH = 16 см.

Высота трапеции AD = DH + HA. Так как AD является высотой, то AD = 2r, где r - радиус вписанной окружности.

Так как трапеция прямоугольная, то AD является высотой. В точке касания H, AH = r.

Значит, AD = DH + AH = 16 + r.

Также, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть AD = 2r.

Приравниваем:

16 + r = 2r => r = 16 см.

Значит, высота трапеции AD = 2 * 16 см = 32 см.

Теперь найдем длину меньшего основания AB.

Из точки B опустим перпендикуляр на CD. Обозначим точку пересечения как K. Тогда AB = CK.

В прямоугольном треугольнике BKD:

BD = BC = BF + FC = BG + 9.

BK = AD = 32 см.

KD = CD - CK = 25 - AB.

По теореме Пифагора в треугольнике BKD:

BK² + KD² = BD²

32² + (25 - AB)² = (BG + 9)²

Это слишком сложно. Вернемся к свойствам касательных.

У нас есть:

• AD = 32 см (высота, так как CD - большая боковая сторона).
• CE = 9 см, ED = 16 см.
• Значит, CD = 25 см.
• Точки касания с боковыми сторонами:

  Пусть точка касания с AD - H, с BC - F, с AB - G, с CD - E.

  AD = AH + HD. Так как AD - высота, то AD = 2r.

  ED = 16 см. Так как ED и HD - отрезки касательных из вершины D, то ED = HD = 16 см.

  CE = 9 см. Так как CE и CF - отрезки касательных из вершины C, то CE = CF = 9 см.

  Значит, высота AD = HD + AH. AH - это отрезок касательной из вершины A. Если AB - меньшее основание, то AG = AH. AD = 32.

  AD = 32 см. Из D, ED = 16, значит DH = 16. Так как AD = 32, то AH = AD - DH = 32 - 16 = 16 см.

  Значит, AG = AH = 16 см.

  Меньшее основание AB = AG + GB. Точки касания на AB: G и A.

  Так как трапеция прямоугольная, то AD является высотой. Значит, точка касания на AD - H, и AH = r, DH = r. AD = 2r.

  ED = 16, значит DH = 16. Следовательно, r = 16 см. AD = 2r = 32 см.

  CE = 9, значит CF = 9.

  Теперь найдем отрезки касательных от вершин A и B.

  AH = AD - DH = 32 - 16 = 16 см. Значит, AG = 16 см.

  Основание AB = AG + GB. GB - это отрезок касательной из вершины B. BG = BF.

  BC = CF + FB = 9 + FB.

  AB = 16 + GB.

  Из прямоугольного треугольника, построенного опуская перпендикуляр из B на CD (точка K):

  BK = AD = 32.

  CK = AB.

  KD = CD - CK = 25 - AB.

  BD = BC = 9 + FB.

  По теореме Пифагора: BK² + KD² = BD²

  32² + (25 - AB)² = (9 + FB)²

  Поскольку AB = AG + GB = 16 + GB, то GB = AB - 16.

  FB = GB.

  32² + (25 - AB)² = (9 + AB - 16)²

  1024 + (25 - AB)² = (AB - 7)²

  1024 + 625 - 50AB + AB² = AB² - 14AB + 49

  1649 - 50AB = -14AB + 49

  1649 - 49 = 50AB - 14AB

  1600 = 36AB

  AB = 1600 / 36 = 400 / 9 см.

  Теперь найдем периметр:

  P = AB + BC + CD + AD

  AB = 400/9 см.

  BC = BF + FC = GB + 9 = (AB - 16) + 9 = AB - 7 = 400/9 - 7 = (400 - 63)/9 = 337/9 см.

  CD = 25 см.

  AD = 32 см.

  P = 400/9 + 337/9 + 25 + 32

  P = 737/9 + 57

  P = (737 + 57 * 9) / 9

  P = (737 + 513) / 9 = 1250 / 9 см.

  Проверим расчеты.

  Отрезки касательных от вершин:

  D: ED = 16, DH = 16

  C: CE = 9, CF = 9

  A: AH = AD - DH = 32 - 16 = 16. AG = 16.

  B: BF = BC - CF. BG = BF.

  AB = AG + GB = 16 + GB.

  BC = CF + BF = 9 + BF.

  CD = CE + ED = 9 + 16 = 25.

  AD = 32.

  Из прямоугольного треугольника: (AB - CK)??

  В прямоугольной трапеции, если опустить высоту из B на CD, то получим прямоугольник ABCK и прямоугольный треугольник BKD.

  AB = CK.

  KD = CD - CK = 25 - AB.

  BK = AD = 32.

  BD = BC.

  По теореме Пифагора в BKD:

  32^2 + (25 - AB)^2 = BC^2

  1024 + (25 - AB)^2 = (9 + BG)^2

  Так как BG = BF, и AB = 16 + BG, то BG = AB - 16.

  1024 + (25 - AB)^2 = (9 + AB - 16)^2

  1024 + (25 - AB)^2 = (AB - 7)^2

  1024 + 625 - 50AB + AB^2 = AB^2 - 14AB + 49

  1649 - 50AB = -14AB + 49

  1600 = 36AB

  AB = 1600 / 36 = 400 / 9.

  BC = 9 + BG = 9 + (AB - 16) = AB - 7 = 400/9 - 7 = (400 - 63)/9 = 337/9.

  Периметр P = AB + BC + CD + AD = 400/9 + 337/9 + 25 + 32 = 737/9 + 57 = (737 + 513)/9 = 1250/9.

  Ответ: 1250/9 см