4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите углы треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) с основанием \( AB \) углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).

По условию \( \angle C \) в 2 раза меньше \( \angle A \), значит, \( \angle A = 2 \angle C \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).

Подставим известные соотношения:

\( 2\angle C + 2\angle C + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 5\angle C = 180^{\circ} \)

\( \angle C = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ} \).

Теперь найдём углы при основании:

\( \angle A = 2 \angle C = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \).

\( \angle B = \angle A = 72^{\circ} \).

Проверка: \( 72^{\circ} + 72^{\circ} + 36^{\circ} = 144^{\circ} + 36^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны \( \angle A = 72^{\circ} \), \( \angle B = 72^{\circ} \), \( \angle C = 36^{\circ} \).