4. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

По условию, имеем равнобедренную трапецию. На рисунке указаны:

• Высота \( h = 5 \)
• Меньшее основание \( b = 7 \)
• Угол при основании \( \alpha = 45^° \)

Чтобы найти большее основание \( a \), нужно к меньшему основанию прибавить длины двух отрезков, которые образуются при проведении высот из вершин меньшего основания на большее.

В равнобедренной трапеции эти отрезки равны. Обозначим длину одного такого отрезка как \( x \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), отрезком \( x \) и боковой стороной трапеции. В этом треугольнике угол при основании равен 45°.

Тангенс угла 45° равен отношению противолежащего катета (высота \( h \)) к прилежащему катету (отрезок \( x \)):

\[ \tan(45^°) = \frac{h}{x} \]

Так как \( \tan(45^°) = 1 \), то:

\[ 1 = \frac{5}{x} \]

Отсюда \( x = 5 \) см.

Теперь найдём большее основание \( a \). Оно равно сумме меньшего основания \( b \) и двух отрезков \( x \):

\( a = b + 2x \)

\[ a = 7 \text{ см} + 2 x 5 \text{ см} = 7 \text{ см} + 10 \text{ см} = 17 \text{ см} \]

Ответ: 17.