4. В равнобокой трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна стороне CD. ∠D = 60°, периметр трапеции 70 см. Найдите длину стороны AD.

Пусть боковая сторона CD = AB = l, верхнее основание BC = b, нижнее основание AD = d. В равнобокой трапеции углы при основании AD равны, поэтому ∠A = ∠D = 60°.

Проекция каждой боковой стороны на основание AD равна l cos 60° = l/2, а высота трапеции равна l sin 60° = √3l/2. Поэтому d − b = l.

Расположим A в начале координат, а AD направим горизонтально. Тогда C имеет координаты ( l/2 + b, √3l/2 ), а вектор CD равен ( l/2, −√3l/2 ). Перпендикулярность AC и CD означает, что их скалярное произведение равно нулю:

(l/2 + b)(l/2) − 3l²/4 = 0, откуда b = l.

Тогда d = b + l = 2l. По условию периметр равен d + b + 2l = 70, поэтому 5l = 70 и l = 14 см. Следовательно, AD = 2l = 28 см.

Ответ: 28 см.