4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Первая часть. В равнобокой трапеции углы при одном основании равны, поэтому каждый угол при большем основании равен \(96°:2=48°\). Углы, прилежащие к боковой стороне, supplementary: их сумма равна 180°. Значит, каждый угол при меньшем основании равен \(180°-48°=132°\).

Ответ: углы трапеции — 48°, 48°, 132° и 132°.

Вторая часть. Так как BM — высота к AD, то \(\angle AMB=90°\). В прямоугольном треугольнике ABM сторона AM=4 см лежит напротив угла \(\angle ABM=30°\), поэтому гипотенуза \(AB=2\cdot AM=8\) см.

Все стороны ромба равны, значит \(AD=AB=8\) см. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны, а угол BAD равен \(60°\): он дополнительный к углу BAM=60°? Поскольку \(\angle BAM=60°\) и лучи AM и AD совпадают, на самом деле \(\angle BAD=\angle BAM=60°\). Следовательно, треугольник ABD равносторонний и \(BD=8\) см.

Ответ: \(BD=8\) см.