4. * В ромбе ABCD AK — биссектриса угла CAB, ∠BAD = 60°, BK = 12 см. Найдите площадь ромба.

Считаем, что K — точка пересечения биссектрисы AK со стороной BC. Диагональ AC ромба делит угол BAD пополам, поэтому \(\angle CAB=30^\circ\), а \(\angle BAK=15^\circ\). В треугольнике ABK угол при B равен \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\), следовательно, \(\angle AKB=45^\circ\).

По теореме синусов, обозначив сторону ромба через \(s=AB\), получаем:

\(\dfrac{BK}{\sin15^\circ}=\dfrac{s}{\sin45^\circ}\), откуда \(s=12\cdot\dfrac{\sin45^\circ}{\sin15^\circ}=12(\sqrt3+1)\) см.

Площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус угла между сторонами:

\(S=s^2\sin60^\circ=[12(\sqrt3+1)]^2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=432+288\sqrt3\) см².

Ответ: \(432+288\sqrt3\) см².