4. В трапеции ABCD (см. рисунок) AC — биссектриса угла BAM, CA — биссектриса угла BCM, BC = 16 см. Определите вид четырёхугольника ABCM и найдите его периметр.

В трапеции основания BC и AD параллельны; точка M лежит на AD, значит BC ∥ AM.

Так как AC — биссектриса угла BAM, ∠BAC = ∠CAM. Из параллельности BC и AM следует ∠ACB = ∠CAM. Значит, ∠BAC = ∠ACB, поэтому AB = BC = 16 см.

Так как CA — биссектриса угла BCM, ∠BCA = ∠ACM. Из BC ∥ AM следует ∠BCA = ∠CAM, а по биссектрисе ∠CAM = ∠BAC. Следовательно, ∠ACM = ∠BAC, поэтому AB ∥ CM.

У четырёхугольника ABCM обе пары противоположных сторон параллельны: BC ∥ AM и AB ∥ CM. Значит, ABCM — параллелограмм. В нём AB = BC = 16 см, поэтому все стороны равны и ABCM — ромб.

Периметр: P = 4 · 16 = 64 см.

Ответ: ABCM — ромб; P = 64 см.