4. В треугольнике ABC ∠A = а, ∠C = В, высота ВН равна 4 см. Найдите АС.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠B = 90° (подразумевается, так как указана высота BH), высота BH опущена на гипотенузу AC.
2. Шаг 2: Высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на два отрезка: AH и HC.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике ABC, угол A равен 'a', а угол C равен 'b'. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( a + 90^° + b = 180^° \), что означает \( a + b = 90^° \).
4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH равен 'a'. Тогда угол ABH равен \( 90^° - a = b \).
5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. Угол BCH равен 'b'. Тогда угол CBH равен \( 90^° - b = a \).
6. Шаг 6: В прямоугольном треугольнике ABH, \( an(a) = rac{BH}{AH} \). Следовательно, \( AH = rac{BH}{ an(a)} = rac{4}{ an(a)} \).
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике CBH, \( an(b) = rac{BH}{HC} \). Следовательно, \( HC = rac{BH}{ an(b)} = rac{4}{ an(b)} \).
8. Шаг 8: Гипотенуза AC равна сумме отрезков AH и HC: \( AC = AH + HC = rac{4}{ an(a)} + rac{4}{ an(b)} \).
9. Шаг 9: Так как \( b = 90^° - a \), то \( an(b) = an(90^° - a) = ext{ctg}(a) = rac{1}{ an(a)} \).
10. Шаг 10: Подставляем это в выражение для AC: \( AC = rac{4}{ an(a)} + rac{4}{1/ an(a)} = rac{4}{ an(a)} + 4 an(a) \).
11. Шаг 11: Выносим 4 за скобки: \( AC = 4 × (rac{1}{ an(a)} + an(a)) \).
12. Шаг 12: Можно также использовать соотношение \( AC = rac{BH}{ ext{sin}(a)} × rac{1}{ ext{cos}(a)} \) или \( AC = rac{BH}{ ext{sin}(b)} × rac{1}{ ext{cos}(b)} \).
13. Шаг 13: Используем то, что \( AC = rac{AB^2}{AH} = rac{BC^2}{HC} \).
14. Шаг 14: Из \( an(a) = rac{BH}{AH} \) => \( AH = rac{4}{ an(a)} \). Из \( an(b) = rac{BH}{HC} \) => \( HC = rac{4}{ an(b)} \).
15. Шаг 15: \( AC = AH + HC = rac{4}{ an(a)} + rac{4}{ an(b)} \).
16. Шаг 16: Перепишем \( an(a) = rac{a}{4} \) и \( an(b) = rac{b}{4} \) => \( a = 4 an(a) \) и \( b = 4 an(b) \).
17. Шаг 17: \( AC = AH + HC \). В прямоугольном треугольнике ABH: \( AH = BH × ext{ctg}(a) = 4 × ext{ctg}(a) \).
18. Шаг 18: В прямоугольном треугольнике CBH: \( HC = BH × ext{ctg}(b) = 4 × ext{ctg}(b) \).
19. Шаг 19: \( AC = 4 × ext{ctg}(a) + 4 × ext{ctg}(b) \).
20. Шаг 20: Так как \( b = 90^° - a \), то \( ext{ctg}(b) = ext{ctg}(90^° - a) = an(a) \).
21. Шаг 21: \( AC = 4 × ext{ctg}(a) + 4 × an(a) \).
22. Шаг 22: \( AC = 4( ext{ctg}(a) + an(a)) \).
23. Шаг 23: \( AC = 4(rac{ ext{cos}(a)}{ ext{sin}(a)} + rac{ ext{sin}(a)}{ ext{cos}(a)}) = 4(rac{ ext{cos}^2(a) + ext{sin}^2(a)}{ ext{sin}(a) ext{cos}(a)}) = 4(rac{1}{ ext{sin}(a) ext{cos}(a)}) \).
24. Шаг 24: Используя формулу двойного угла \( ext{sin}(2a) = 2 ext{sin}(a) ext{cos}(a) \), имеем \( ext{sin}(a) ext{cos}(a) = rac{ ext{sin}(2a)}{2} \).
25. Шаг 25: \( AC = 4(rac{1}{ ext{sin}(2a)/2}) = rac{8}{ ext{sin}(2a)} \).
26. Шаг 26: Аналогично, если выражать через угол b: \( AC = 4( ext{ctg}(b) + an(b)) = rac{8}{ ext{sin}(2b)} \).
27. Шаг 27: Поскольку \( a+b=90^° \), то \( 2a + 2b = 180^° \). \( ext{sin}(2a) = ext{sin}(180^° - 2b) = ext{sin}(2b) \).
28. Шаг 28: Таким образом, \( AC = rac{8}{ ext{sin}(2a)} = rac{8}{ ext{sin}(2b)} \).

Ответ: AC = 4(ctg(a) + tg(a)) или AC = rac{8}{ ext{sin}(2a)}.