4. В треугольнике ABC AB = BC, ∠CAB = 30°, AE — биссектриса, BE = 8 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Поскольку AB = BC, противолежащие им углы равны: ∠C = ∠A = 30°. Тогда ∠B = 120°.

По теореме синусов AC / BC = sin 120° / sin 30° = √3. Следовательно, AC = √3 AB.

По теореме о биссектрисе BE / EC = AB / AC = 1/√3. При BE = 8 см получаем EC = 8√3 см, поэтому BC = BE + EC = 8(1 + √3) см. Так как AB = BC, AB тоже равна 8(1 + √3) см.

Вычислим площадь по двум сторонам и углу между ними:

S = (1/2) · AB · BC · sin 120° = (1/2) · [8(1 + √3)]² · (√3/2) = 96 + 64√3 см².

Ответ: 96 + 64√3 см².