4. В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\overrightarrow{AO}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AC}\).

Пусть M — середина BC. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec a+\vec b)\).

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).