4. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠B = 30°. На катете BC отметили точку D такую, что ∠ADC = 60°. Найдите катет ВС, если CD = 5 см.

Краткое пояснение:

• Используем свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции (тангенс) для нахождения сторон.
• В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Решение:

1. В треугольнике ABC, ∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.
2. Рассмотрим треугольник ADC. ∠ADC = 60°, ∠C = 90°. Следовательно, ∠CAD = 180° - 90° - 60° = 30°.
3. В треугольнике ADC, ∠CAD = 30°, ∠ADC = 60°, ∠C = 90°. CD = 5 см.
4. Находим катет AC через тангенс угла ADC: \( AC = CD an(60°) \). \( AC = 5 ext{ см} imes ext{sqrt(3)} \)
5. Находим катет AC через синус угла ADC: \( AC = CD / an(60°) \) - это неверно.
6. Находим катет AC через тангенс угла CAD: \( AC = CD an(30°) \). \( AC = 5 ext{ см} imes (1/ ext{sqrt(3)}) = 5/ ext{sqrt(3)} \) см.
7. Находим катет BC. BC = BD + CD.
8. В треугольнике ABC, \( an(30°) = AC / BC \).
9. \( BC = AC / an(30°) \).
10. \( BC = (5/ ext{sqrt(3)}) / (1/ ext{sqrt(3)}) \).
11. \( BC = 5 ext{ см} \).
12. Проверим еще раз.
13. В треугольнике ADC, ∠C = 90°, ∠ADC = 60°, ∠CAD = 30°. CD = 5 см.
14. \( an( ext{∠CAD}) = CD / AC \). \( an(30°) = 5 / AC \). \( AC = 5 / an(30°) = 5 / (1/ ext{sqrt(3)}) = 5 ext{sqrt(3)} \) см.
15. В треугольнике ABC, ∠C = 90°, ∠B = 30°.
16. \( an( ext{∠B}) = AC / BC \). \( an(30°) = (5 ext{sqrt(3)}) / BC \).
17. \( BC = (5 ext{sqrt(3)}) / an(30°) = (5 ext{sqrt(3)}) / (1/ ext{sqrt(3)}) = 5 ext{sqrt(3)} imes ext{sqrt(3)} = 5 imes 3 = 15 \) см.

Ответ: 15 см