4. В треугольнике DKO проведены медиана KZ и высота KP. Известно, что DO = 308 и KO = KZ. Найдите DP.

Поскольку KZ — медиана, Z — середина DO. Поэтому DZ = ZO = 308 : 2 = 154.

Высота KP перпендикулярна DO, значит треугольник KPZ прямоугольный. По условию KO = KZ. Применим теорему Пифагора к треугольникам KPO и KPZ:

KO² = KP² + PO², а KZ² = KP² + PZ². Из равенства KO = KZ следует PO² = PZ², следовательно, PO = PZ.

На рисунке порядок точек на DO: D, Z, P, O. Пусть ZP = PO = x. Тогда ZO = ZP + PO = 2x = 154, откуда x = 77.

DP = DZ + ZP = 154 + 77 = 231.

Ответ: 231.